matematika wajib bab 2

Persamaan Linear Tiga Variabel

Beberapa sistem persamaan dikatakan ekuivalen apabila sistem-sistem tersebut memiliki himpunan selesaian yang sama. Perhatikan dua SPLTV berikut.

Kedua SPLTV tersebut merupakan dua sistem yang ekuivalen karena selesaiannya sama, yaitu (–3, 1, 1). Akan tetapi, SPLTV yang kedua lebih sederhana daripada SPLTV yang pertama karena persamaan 2 dan 3 pada SPLTV kedua memiliki variabel yang sedikit daripada SPLTV yang pertama. (Catatan: Persamaan 2 dan 3 secara berturut-turut artinya persamaan yang terletak di baris ke-2 dan ke-3 dari suatu sistem). Pada SPLTV yang kedua, kita dapat mensubstitusi z = 1 ke persamaan ke-2 untuk mendapatkan y = 1, dan mensubstitusi kedua nilai tersebut ke dalam persamaan 1 untuk memperoleh x = –3.

Dari uraian di atas, kita dapat mengamati bahwa dalam menyelesaikan SPLTV kita dapat menyederhanakan persamaan kedua dan ketiga dalam sistem tersebut, sampai kita mendapatkan suatu sistem yang ekuivalen dan dapat diselesaikan dengan mudah. Selanjutnya, perhatikan operasi-operasi yang dapat menghasilkan sistem persamaan yang ekuivalen berikut.

1. Mengubah urutan persamaan.
2. Mengganti suatu persamaan dengan hasil kali bilangan tidak nol terhadap persamaan tersebut.
3. Mengganti suatu persamaan dengan hasil penjumlahan dari dua persamaan dalam sistem tersebut.

Berdasarkan 3 operasi di atas, kita dapat menyelesaikan SPLTV dengan menggunakan pendekatan berikut.

1. Tulis semua persamaan ke dalam bentuk standar: Ax + By + Cz = D.
2. Apabila ada persamaan yang variabel x-nya memiliki koefisien 1, jadikan persamaan tersebut menjadi persamaan 1.
3. Gunakan suku-x pada persamaan 1 untuk mengeliminasi suku-x pada persamaan 2 dan 3. Persamaan 1 serta persamaan 2 dan 3 yang baru akan menghasilkan suatu sistem yang memuat subsistem persamaan linear dalam dua variabel.
4. Selesaikan subsistem yang dihasilkan pada langkah 3 untuk dijadikan persamaan 3 yang baru. Sistem yang terakhir merupakan sistem yang sederhana dan dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi terbalik.

Selanjutnya kita akan mencoba untuk menyelesaikan SPLTV,

dengan menggunakan 4 langkah di atas. Pada contoh 3 berikut, notasi –2P1 + P2 → P2 mengindikasikan bahwa hasil dari persamaan pada baris pertama dikalikan dengan –2 dan dijumlahkan dengan persamaan pada baris kedua akan menggantikan persamaan pada baris kedua untuk menjadi persamaan 2 yang baru.

Contoh: Menyelesaikan SPLTV

Tentukan selesaian dari SPLTV berikut.

Pembahasan Semua persamaan dalam SPLTV tersebut merupakan persamaan dalam bentuk standar. Sehingga kita tidak perlu mengubah letak dari suku-suku persamaan tersebut. Karena koefisien x pada persamaan 2 adalah 1, jadikan persamaan ini menjadi P1.

Gunakan P1 untuk mengeliminasi suku-x pada P2 dan P3. Karena P3 tidak memiliki suku-x, kita cukup melakukan eliminasi tersebut terhadap P2. Gunakan operasi –2P1 + P2 untuk mengeliminasi suku-x tersebut.

P2 yang baru adalah y + 4z = 5. P1 dan P3, bersama dengan P2 yang baru akan membentuk sistem yang memiliki subsistem dalam dua variabel.

Selesaiakan subsistem dalam 2 variabel tersebut ke dalam y atau z, dan jadikan hasilnya sebagai P3 yang baru. Apabila kita ingin mengeliminasi variabel y, gunakan operasi 2P2 + P3.

P3 yang baru adalah z = 1.

Selanjutnya kita kita dapat mensubstitusi z = 1 ke P2 untuk mendapatkan y = 1. Substitusi z = 1 dan y = 1 akan menghasilkan x = –3 pada P1.