matematika wajib bab 4

Akar, Pangkat dan Logaritma

A. Bilangan Pangkat

1. Pangkat Bulat Positif

Yaitu apabila n adalah sebuah bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a^n didefinisikan sebagai perkalian n faktor yang masing-masing faktornya adalah a. 

Jadi, a^n=a×a×a×a×∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙×a,dan a^1=a

Sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif 

a. Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dan a∈R, 

b. Jika a∈R(a≠0) dan m dan n adalah bilangan bulat positif, maka: 

 jika m > n,  jika m < n, 1 jika m = n c. Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dan a∈R, maka 

d. Jika n adalah bilangan bulat positif dan a,b∈R, maka 

e. Jika n adalah bilangan bulat positif dan a,b∈R, maka  

2. Pangkat Bulat Negatif dan nol 

a. Pangkat Bulat Negatif 

Untuk setiap bilangan real dan bilangan rasional n, berlaku 

b. Pangkat Nol 

Untuk setiap a bilangan real, dan ≠0 , maka berlaku 

B. Bentuk Akar

1. Pengertian Bentuk Akar 

√a adalah bilangan non negatif sedemikian sehingga √a×√a=a 

Catatan: 

a. Jika a≥0, maka √a terdefinisi 

b. Jika a<0,, maka √a tidak terdefinisi c. √a tidak pernah negatif, √a≥0

2. Menyederhanakan Bentuk Akar 

Bentuk akar √a dapat disederhanakan jika a dapat dinyatakan dengan faktor-faktor yang memuat bilangan kuadrat sempurna. Untuk menyederhanakan bentuk akar digunakan sifat: 

Bukti:

 terbukti

C. Merasionalkan Bentuk Akar dan Pangkat

1. Bentuk 

Bentuk akar dengan b≠0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan dengan √b sehingga: 

2. Pecahan Bentuk 

Untuk menyederhanakan bentuk pecahan  dan adalah dengan mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebut. Bentuk sekawan dari  adalah . Sebaliknya, bentuk sekawan dari  adalah  sehingga:

3. Pecahan Bentuk 

Dan untuk menyederhanakan penyebut dari bentuk pecahan atau  yaitu dengan car mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan dari adalah . sebaliknya  adalah  sehingga:

4. Menyederhanakan bentuk akar 

Bentuk  dapat diubah menjadi bentuk  dengan syarat a,b∈R dana>b. 

Bukti: 

jadi 

D. Logaritma

1. Sifat-Sifat Logaritma

a. Sifat 1

Untuk a>0,a≠1 berlaku:

Bukti:

1) Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi, 

2) Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi,

3) Log 10 adalah suatu logaritma dengan basis dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1

b. Sifat 2

Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku:

Bukti:

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:

Maka:

 sehingga

c. Sifat 3

Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku:

d. Sifat 4

Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku:

e. Sifat 5

Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku:

f. Sifat 6

Untuk a,p>0,dan a ,p≠1 serta a,p,dan x∈R berlaku

g. Sifat 7

Untuk a>0,x>0,y>0,a,x,dan y ∈R berlaku:

h. Sifat 8

Untuk a>0,serta a dan x∈R, berlaku:

i. Sifat 9

Untuk a>0,serta a dan x∈R berlaku: